ПРИЛОЖЕНИЕ

Некоторые принципиальные положения, используемые при расчете спутника

Для того чтобы искусственный спутник вращался вокруг земного шара по круговой орбите и не падал бы на ее поверхность, необходимо на основании начала Даламбера, чтобы его вес на заданной высоте орбиты был равен центробежной силе. Обозначив через:

m — массу спутника;

V_кр — его окружную скорость, направленную по касательной к орбите;

R₀ — радиус земного шара;

r — радиус орбиты спутника;

g и g₀ — ускорение силы тяжести соответственно на высоте h = r — r₀ и у поверхности Земли, — получим, пренебрегая притяжением Солнца и планет, сопротивлением атмосферы и нецентральностью потенциала земного тяготения, простое математическое выражение сформулированного выше условия:

Из этого равенства нетрудно определить скорость V_кр, которой должен обладать спутник для того, чтобы вращаться вокруг Земли на высоте h:

.

Подставляя в это выражение величину

,

так как ускорение силы земного тяготения по мере удаления от ее поверхности убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли, получим окончательно:

.

В общем случае при движении спутника вокруг Земли по эллиптической траектории скорость его в любой точке этой траектории будет определяться равенством:

,

где а является большой полуосью эллипса.

Следовательно, чем выше над поверхностью Земли будет располагаться траектория спутника, тем меньшую окружную скорость V_кр ему надо будет иметь. Наибольшее значение окружной скорости получим у поверхности Земли, когда r = r₀. Подставляя численные значения:

g₀=9,81 м/сек² и r₀=6,378*10⁶ м, получим:

м/сек.

Если бы у поверхности Земли при этом отсутствовала атмосфера, то, сообщив некоторому телу горизонтальную скорость 7912 м/сек, можно было бы получить искусственный спутник Земли, вращающийся по круговой орбите у самой ее поверхности. Эту скорость иногда называют «первой космической скоростью». Но в реальных условиях плотные слои атмосферы у поверхности Земли, разумеется, немедленно затормозят движение такого спутника, и он, потеряв скорость, неизбежно упадет на поверхность Земли.

По мере подъема на высоту плотность земной атмосферы довольно быстро убывает. Так, например, на высоте 50 км плотность ее составляет всего лишь одну тысячную долю значения плотности у поверхности моря, а на высоте 100 км — менее одной миллионной.

Однако, как показывают соответствующие расчеты, даже одной миллионной доли ее значения у земной поверхности достаточно для того, чтобы заметно тормозить свободный полет спутника Земли на высотах порядка 100 км.

Если представить себе спутник, выполненный в виде шара, с нагрузкой на площадь миделя (миделем называется наибольшее поперечное сечение осесимметричного тела), равной 200 кг/м*2, то на высоте 200 км он сумеет продержаться всего лишь около двух с половиной суток, после чего скорость его станет значительно меньше требуемой для круговой орбиты, спутник начнет снижаться в более плотные слои атмосферы и там, быстро потеряв скорость, упадет на Землю.

Поэтому можно предполагать, что создание искусственных спутников Земли будет целесообразно лишь на высотах более чем 200 км.

На высотах же порядка 100 км придется, очевидно, осуществлять спутники с очень небольшой дополнительной (маршевой) тягой, уравновешивающей сопротивление среды. Такие спутники с небольшой тягой предложено называть «сателлоидами».

Для того чтобы запустить искусственный спутник Земли, необходимо будет не только сообщить ему окружную скорость V_кр, определяемую вышеприведенным равенством, но и затратить некоторую работу на подъем его с поверхности Земли до заданной высоты h.

Эту работу подъема T_h можно определить как разность потенциальной энергии тела при нахождении его у поверхности Земли и потенциальной энергии этого тела на высоте h.

Мерой потенциальной энергии в этом случае (в поле гравитационных сил) будет служить произведение веса mg тела на данном уровне на его удаление r от центра Земли.

Тогда на поверхности Земли потенциальная энергия тела, обладающего массой m, будет равна mg₀r₀, а на высоте h=r-r₀ определится равенством:

,

Разность этих двух значений потенциальной энергии будет равна:

Следовательно, такую работу Т_h надо будет затратить на то, чтобы поднять спутник, обладающий массой m, с поверхности Земли на высоту h.

Выражая работу T_h через некоторую скорость V_h, определяемую равенством

,

получим:

.

Таким образом, полная затрата энергии Т_х на то, чтобы поднять спутник, обладающий массой m, с поверхности Земли на высоту h и сообщить ему там скорость V_кр будет равна сумме:

.

Если эту суммарную работу Т_х выразить также через некоторую характеристическую скорость V_x, определяемую аналогично скоростям V_кр и V_h выражением:

,

то после сокращения написанного равенства на m:2 и подстановки значений скоростей V_кр и V_h получим:

,

или, подставляя в первый радикал численные значения постоянных величин g0 и r0, окончательно будем иметь:

.

При r=r₀ скорость V_x становится равной (V_кр)₀ у поверхности Земли, то есть 7912 м/сек — «первой космической скорости», так как при этом условии никакой работы на подъем спутника не расходуется. При r стремящемся к бесконечности скорость V_x стремится к 11 190 м/сек.

Тело, получившее такую скорость у поверхности Земли, способно будет удалиться от нее на бесконечно большое расстояние. Эту скорость именуют иногда «второй космической скоростью».

Промежуточные значения V_кр и V_x для различных высот h представлены в таблице 2 и показаны на рис. 13.

Рис. 13. График изменения круговой скорости V_кр полета спутника Земли и его характеристической скорости V_х в зависимости от высоты расположения круговой орбиты над поверхностью Земли

Так, например, для того чтобы получить спутник, вращающийся вокруг Земли на высоте 200 км, ему необходимо сообщить, как минимум, работу, определяемую характеристической скоростью V_x=8031 м/сек. В реальных условиях разгона спутника ракетой потребуются еще некоторые дополнительные затраты энергии на преодоление силы сопротивления воздуха в плотных слоях атмосферы, на преодоление силы земного тяготения в период разгона спутника ракетой и, наконец, на последовательное изменение направления скорости полета спутника.

Таблица 2

Высота h, км	Круговая скорость Vкр, м/сек	Характеристи- ческая скорость Vx, м/сек	Сидерический период обращения
			час.	мин.	сек.
0	7912	7912	1	24	25
200	7791	8031	1	28	25
300	7732	8088	1	30	27
400	7675	8142	1	32	29
500	7619	8194	1	34	32
1000	7356	8431	1	45	02
2000	6903	8806	2	07	09
4000	6203	9312	2	55	17
6000	5679	9640	3	48	18
∞	0	11190	0	0	0

Эти дополнительные работы могут быть оценены некоторыми добавками к характеристической скорости V_x, которые в сильной степени зависят от выбранной для спутника программы набора скорости и от формы траектории его подъема на заданную высоту.

Численные расчеты показывают, что для реальных соотношений веса, ускоряющей силы и габаритов спутника сумма этих дополнительных скоростей может быть доведена до 10 — 15% от значения величины характеристической скорости.

Таким образом, учитывая реальные условия подъема и разгона спутника, эта скорость V_x должна быть увеличена на 10 — 15% по сравнению с ее теоретическим значением. Если скорость V_x была определена порядка 8 км/сек, то в реальных условиях она должна быть увеличена примерно до 9 км/сек.

Исходя из этой последней величины скорости, могут уже определяться энергетические ресурсы, необходимые для запуска искусственного спутника Земли.

Наиболее реальным современным летательным аппаратом, способным обеспечить получение скоростей полета порядка 8 — 9 км/сек, является ракета.

Скорость полета ракеты в условиях отсутствия сил тяготения и сопротивления среды определяется известной формулой Циолковского:

,

где V_z обозначает скорость полета ракеты, определяемую формулой Циолковского; и — скорость отброса частиц топлива из ракеты или, как ее было предложено называть, «эффективная скорость» истечения, а величина z, стоящая под знаком натурального логарифма, есть отношение начальной массы ракеты к ее конечному значению, именуемое обычно «числом Циолковского».

Скорость и отброса топлива из ракеты определяется обычно опытным путем.

Измеряя на огневом стенде одновременно тягу Р ракетного двигателя и потребляемое им количество топлива W, расходуемого из ракеты ежесекундно, находят их соотношение или так называемую удельную тягу:

Это первостепенной важности соотношение показывает, сколько килограммов тяги на протяжении одной секунды может дать ракетный двигатель на каждый килограмм расходуемого им топлива.

Рис. 14. Зависимость скорости V_z полета ракеты, определенной по формуле Циолковского от отношения z (числа Циолковского

Умножив Р_уд на ускорение земного тяготения g₀=9,81 м/сек², получим скорость в м/сек отброса топлива из ракеты, которую необходимо подставить в формулу Циолковского. На рис. 14 приведен график, показывающий связь между Р_уд, величиной z и скоростью V_z.

Современные ракетные двигатели обеспечивают Р_уд порядка 250 [кг сек/кг]. Поэтому для получения скорости 9 км/сек необходимо у ракеты обеспечить число Циолковского z~40.

Для одноступенчатой ракеты это означает, что начальный вес ее с топливом должен быть в 40 раз больше веса пустой ракеты, после того как из нее израсходуется все топливо. Конструктивно пока это еще не удается осуществить. В лучшем случае удается сделать предельно облегченную конструкцию одноступенчатой ракеты с отношением z~6. При этом вес полезного груза ракеты получается обычно порядка 2% от ее начального (стартового) веса.

Таким образом, стремясь получить большие скорости полета ракет, приходится, как это и предсказывал К.Э.Циолковский, неизбежно переходить к конструкции ступенчатых (составных) ракет.

На рис. 14 вертикальные линии с односторонней штриховкой указывают реальные в настоящее время границы областей применения ракет с различным числом ступеней.

Рис. 15. Схема ступенчатой ракеты [по Вертрегту]

Существует много методов расчета ступенчатых ракет, однако большинство из них страдает сложностью, отсутствием наглядности, запутанностью терминологии и определений. Недавно в журналах Британского межпланетного общества была опубликована методика расчета ступенчатых ракет, предложенная голландским инженером Вертрегтом, которую следует признать наиболее удачной. Он предложил построить методику расчета составной ступенчатой ракеты всего лишь на определении четырех весов такой ракеты и трех соотношениях между ними, которые оказываются достаточными для выполнения большинства основных расчетов различных типов ступенчатых ракет.

На рис. 15 представлена схема ступенчатой ракеты по Вертрегту и показаны обозначения принципиальных составных частей ее.

По этой схеме ракета разбивается на полезный груз, ступени и субракеты.

Полезный груз ракеты может состоять из инструментов или людей, включая сюда также несущую конструкцию и оболочку, поддерживающую и предохраняющую их в полете.

Ступень ракеты состоит из топлива, расходуемого ракетой в период действия данной ступени до ее отделения; емкостей (баков), содержащих это топливо; двигателей; арматуры и приборов управления, если таковые имеются в отделяющейся ступени, а также из оболочки и ее несущей силовой конструкции. Субракетой называется такое сочетание полезного груза и ступеней ракеты, в котором одна из ступеней является рабочей (действующей), а все остальные ступени, продолжающие полет вместе с полезным грузом составной ракеты, являются как бы «полезным грузом» для данной субракеты. Предложено нумеровать ступени и субракеты в восходящем порядке, начиная от вершины схемы, изображенной на рисунке, к ее основанию.

Тогда для субракеты 1 рабочей ступенью будет ступень 1, а «полезным грузом» ее — полезный груз составной ракеты; для субракеты 2 рабочей ступенью будет ступень 2, а «полезным грузом» ее — субракета 1 (то есть ступень 1 вместе с полезным грузом составной ракеты). Для субракеты 3 рабочей ступенью будет ступень 3, а «полезным грузом» — субракета 2 и так далее.

Такое разграничение определений и обозначений отдельных основных частей составной ракеты очень просто; оно легко запоминается и позволяет избежать целого ряда ошибок, которые всегда возможны при отсутствии подобной четкой систематизации.

Четыре основных веса ступенчатой ракеты, подлежащие определению, будут следующие:

q — вес полезного груза ступенчатой ракеты.

Под этот вес проектируется и строится вся ракета. Поэтому он является наиболее важным весом в расчетах. Как уже указывалось выше, полезный груз состоит из инструментов или живых существ, помещаемых в ракету, силовой конструкции, несущей их, и оболочки, предохраняющей в полете.

ω —вес топлива, расходуемого из ступени.

В этот вес, обычно состоящий в основном из веса горючего и окислителя, должны быть обязательно добавлены веса вспомогательных компонентов, как, например, перекиси водорода, используемой для работы турбонасосного агрегата, катализатора сжатого газа азота, гелия и ряда других химикалий, расходуемых из данной ступени во время ее работы в полете.

Ω — «сухой вес» ступени, то есть суммарный вес порожних баков, двигателей, турбонасосных агрегатов, клапанов и трубопроводов, несущей конструкции, оболочки, механизмов управления и т.п., то есть вес всего того, что имеется в данной ступени и вместе с нею отделяется от остальных частей ракеты в полете.

G — полный начальный вес субракеты.

Тогда, в соответствии с обусловленной выше индексацией отдельных составных частей ракеты, G_n, например, будет обозначать полный начальный вес всей ракеты, имеющей n ступеней; ω₂ будет суммарный вес топлива, расходуемого, из второй ступени; Ω₃ — «сухой вес» третьей ступени и т. д.

На основе этих определений получается, что

Кроме этих данных четырех определений весов наиболее существенных частей ступенчатой ракеты, должны быть определены также три следующих соотношения их.

Во-первых, р — «относительный» вес субракеты, то есть отношение полного начального веса субракеты к весу ее «полезного груза».

Таким образом:

Тогда Р — полный «относительный» вес многоступенчатой ракеты, то есть отношение начального веса G_n n-ступенчатой ракеты к весу q ее полезного груза будет:

,

где знак обозначает произведение стоящих за этим знаком величин р_i для всех значений i от 1 до n.

Величина Р является одним из наиболее важных соотношений многоступенчатой ракеты. В практике проектирования численное значение величины Р обычно не должно превосходить своего рационального значения, которое зависит от целого ряда экономических и технических причин.

Во-вторых, s — очень яркая и важная «конструктивная характеристика ступени», то есть величина, характеризующая собой отношение полного начального веса данной ступени с топливом к весу ее после израсходования из нее всего топлива, или, иначе говоря, она показывает степень совершенства конструктивного выполнения данной ступени в ракетном смысле этого слова.

Таким образом:

В-третьих, определенное уже ранее z — «отношение масс» ракеты, именуемое числом Циолковского. Таким образом:

Отношения р, s и z, определенные таким путем, будут всегда больше единицы. На практике же иногда пользуются обратными соотношениями, что нередко приводит к нелепым, с физической точки зрения, представлениям. Кроме того, определенные таким образом отношения р, s и z, во-первых, дают более наглядное представление о действующих соотношениях и, во-вторых, значительно легче запоминаются.

Скорость Циолковского для многоступенчатой ракеты может быть получена как сумма аналогичных скоростей для каждой субракеты.

Тогда такая суммарная скорость, по Циолковскому, для n-ступенчатой ракеты будет определяться выражением:

.

Если для всех ступеней скорости u₁, u₂,… u_n отброса топлива из ракеты будут одинаковы и равны u, то

,

откуда,

,

что справедливо, разумеется, только при условии, если скорости u_i для всех n ступеней ракеты будут одинаковы.

Далее легко показать, что численные значения величин р и s всегда будут больше величины z.

Действительно, три отношения р, s и z связаны между собой уравнением:

,

Откуда может быть получено:

,

,

.

Из этих трех равенств для одноступенчатой ракеты могут быть получены аналогичные равенства для многоступенчатой ракеты.

Относительный вес всей n-ступенчатой ракеты будет:

Полный вес ее перед стартом:

,

Вес топлива в n-ной ступени ракеты:

и сухой вес конструкции n-ной ступени:

.

Если «конструктивная характеристика» s и «отношение масс» z одинаковы для всех ступеней и субракет, то могут быть написаны еще более простые уравнения:

P = pⁿ

и

Z = zⁿ,

или

,

.

С помощью этих выражений легко могут быть получены также другие соотношения.

Например: обозначая символом суммарный «сухой» вес всех n-ступеней ракеты, а символом — суммарный вес топлива, заключенного в них, получим:

.

Следовательно,

.

При одинаковом значении «конструктивных характеристик» для всех ступеней получим:

,

откуда

.

Аналогично:

.

Разумеется, при этом следует помнить, что эти формулы будут справедливы только при условии, если s и z для всех n ступеней ракеты будут одинаковыми.

* * *

Приведем некоторые примеры использования выведенных здесь формул.

Пример 1. Предположим, что у нас имеется одноступенчатая ракета с очень высоким совершенством конструкции, определяемым коэффициентом s=8,4. Для сравнения можно привести значения этой характеристики s для некоторых известных современных ракет. Так, например, у немецкой ракеты «Фау-2» величина s была порядка 4; у ракет «Викинг» — от 4,7 для первых образцов до 6,85 для последних типов этой ракеты № 9—11. У ракеты «Викинг-12» s=7,05 и, наконец, для ракет «Аэроби» и «Аэроби-Хи» ее значение, судя по опубликованным данным, достигает 10 и более единиц.

Пусть у нашей ракеты, кроме того, имеется достаточно совершенный ракетный двигатель, способный обеспечить эффективную скорость истечения u=2400 м/сек.

Тогда для сообщения полезному грузу q скорости V_z =5060 м/сек, такой одноступенчатой ракете потребуется иметь число Циолковского:

,

а, следовательно, ее относительный начальный вес будет равен:

Таким образом, на каждый килограмм полезного груза данной ракеты придется иметь 367 кг начального веса.

Посмотрим теперь, как изменится начальный вес этой ракеты, если ее сделать двухступенчатой. Предположим сначала, что конструктивная характеристика ступеней ракеты и скорость истечения и останутся без изменений.

Тогда

Z=z₁*z₂.

Откуда, принимая z₁=z₂, получим

,

а, следовательно:

.

Следовательно, начальный вес двухступенчатый ракеты, способной обеспечить тому же полезному грузу q эту же скорость V_z=5060 м/сек, будет меньше почти в 25 раз.

Однако здесь необходимо отметить, что сохранить конструктивную характеристику s при переходе от одноступенчатой ракеты к многоступенчатой вряд ли удастся.

В конце работы двигателя каждой ступени ракеты будут возникать большие продольные ускорения движения всей ракеты, которые обязательно потребуют увеличения прочности баков в тех ступенях, которые еще не работали и где баки залиты топливом полностью. Кроме того, в ступенчатой ракете потребуются еще некоторые дополнительные узлы, соединяющие между собой ступени ракеты, механизмы разъема и т.п.

Таким образом, есть все основания предполагать, что у составной, ступенчатой ракеты конструктивные характеристики ee ступеней будут всегда хуже, чем у одноступенчатой.

Пусть в данном случае у нашей двухступенчатой ракеты конструктивные характеристики s₁ и s₂ будут меньше на целых 4 единицы, чем у одноступенчатой ракеты, то есть они будут почти в 2 раза хуже и равны 4,4 вместо 8,4 единицы.

Тогда получим величину относительного веса двухступенчатой ракеты:

.

Следовательно, даже и в этом случае начальный вес двухступенчатой ракеты все же будет в 9 раз меньше, чем вес одноступенчатой ракеты, хотя и обладающей значительно более высоким конструктивным совершенством.

Пример 2. Необходимо определить основные характеристики четырехступенчатой ракеты, предназначенной для сообщения искусственному спутнику Земли весом q=300 кг скорости V_z =9000 м/сек. Такая скорость, как мы видели ранее, в состоянии обеспечить спутнику потребную характеристическую скорость V=8000 м/сек для полета его по круговой орбите на высоте порядка 200 м над уровнем моря и, кроме того, компенсировать дополнительные потери скорости на преодоление силы сопротивления воздуха и гравитационных потерь.

Для большей простоты расчета примем для всех ступеней этой ракеты одинаковые значения u=2400 м/сек и s=4,7.

Для скорости V_z=9000 м/сек при u=2400 м/сек полное отношение масс (число Циолковского) должно быть равно

.

Тогда, согласно приведенному выше равенству

.

Следовательно, полный начальный вес такой четырехступенчатой ракеты в соответствии с данным ранее определением составит:

,

что является вполне приемлемым и реальным, так как наибольший двигатель четвертой ракеты должен будет иметь тягу около 220 т, а стенды для испытания таких двигателей уже построены и функционируют в США,

«Сухой вес» Ω₁ первой ступени, которая вместе с полезным грузом q ракеты приобретет конечную максимальную скорость и будет летать с ним вместе по орбите спутника, определится из равенства:

.

Эти пустые баки ближайшей к полезному грузу ступени ракеты, как мы видели ранее, могут быть использованы в качестве строительного материала при создании искусственного спутника Земли.

Суммарный вес топлива во всех четырех ступенях этой ракеты составит:

,

а «сухой вес» всех ее четырех ступеней будет равен:

.

Таким образом, четырехступенчатая ракета, имеющая вполне реальные характеристики двигателей и конструкции, при стартовом весе около 112 т и суммарном расходе топлива порядка 88 т, способна доставить на орбиту спутника и сообщить там скорость полета, необходимую для свободного вращения вокруг Земли, материальным ценностям, весящим в общей сложности около 500 кг.

Такой результат является уже весьма ощутимым и правдоподобным, так как в данном примере были использованы только уже достигнутые в настоящее время характеристики ракет и их двигателей, работающих на обычном химическом топливе.

В тех случаях, если характеристики s и и для каждой ступени ракеты имеют свое, отличное от других ступеней, значение, очень важно уметь правильно определить значения z₁; z₂;…z_n для каждой ступени в отдельности. При произвольном выборе чисел Циолковского по ступеням может получиться весьма существенное перетяжеление начального веса ракеты по сравнению с его минимальным значением.

Покажем это сначала на примере только что разобранной выше двухступенчатой ракеты.

Пример 3. Предположим, что у двухступенчатой ракеты первая ступень (ближайшая к полезному грузу) имеет: u₁ =2000 м/сек, а вторая — u₂ =2400 м/сек. Конструктивные характеристики обеих ступеней одинаковы и равны s₁=s₂=4. Скорость Циолковского осталась прежней V_z=5060 м/сек.

Тогда, задаваясь произвольно значением r₂=3,3 из уравнения Циолковского для двухступенчатой ракеты получим:

,

откуда

z₁=3,0.

Следовательно, относительный начальный вес ее при этих условиях будет равен:

.

Если теперь мы несколько изменим характеристики ступеней ракеты и примем их, например, следующими:

u₁=2400 м/сек; u₂=2000 м/сек; s₁ = 4,4 и s₂=3,6,

то, при том же значении z₂ =3,3, получим z₁ =3,05, а начальный вес ракеты возрастет почти в 2 раза по сравнению с только что найденным и будет равен 220, в чем не трудно убедиться, проделав расчет, аналогичный только что приведенному.

Однако, если бы мы вместе с изменением характеристик ступеней ракеты, изменили бы и z₂, приняв его не 3,3, а, например, 2,8, то в этом случае г, стало бы равным 3,48, а вес Р ракеты — 119 кг вместо 220, то есть даже меньше, чем в первом случае.

Отсюда видно, что весьма незначительные изменения в характеристиках ступеней ракеты (не превышающие 10% от их среднего значения) способны иногда привести к весьма существенным изменениям начального веса составной ракеты.

Поэтому в каждом конкретном случае расчета следует находить оптимальное соотношение чисел Циолковского по ступеням ракеты, исходя из заданной скорости и из индивидуальных характеристик ее ступеней

* * *

При произвольном числе n ступеней ракеты определение оптимальных значений чисел Циолковского по ее ступеням можно осуществлять следующим приближенным методом, дающим достаточно хорошие результаты.

Обозначив, например, через Y₁ отношение z₁:s₁; находим сначала нулевое приближение Y₀, справедливое лишь для случая, когда все значения u_i равны u₁:

.

Затем ищем следующее приближение, которое, по предложению профессора Станюковича, принимаем за окончательное:

.

Здесь поправка

,

где

.

Таким образом, находим

z₁=s₁Y₁.

Далее, последовательно принимаем Y, равное отношениям и аналогичным образом находим значения z₂; z₃;… z_n, которые в этом случае будут достаточно близкими к их оптимальным значениям.

Применим данный метод к только что разобранному примеру двухступенчатой ракеты.

Для нее будем иметь: n=2; u₁=2400; u₂=2000; V_z =5060; s₁=4,4 и s₂=3,6.

Тогда для первой ступени

.

Далее будем иметь:

.

Следовательно,

Y₁=Y₀(1+0,1203)=0,722 1,12=0,87,

z₁=0,87 4,4=3,55.

При этом значении z₁, исходя из скорости V_z=5060 и u₂=2000, найдем z₂ =2,745. Тогда наименьший начальный вес двухступенчатой ракеты будет:

.

Ранее, при z₁=3,48 и z₂=2,8, мы получили близкое к нему значение Р=119.

* * *

Еще в большей степени сказывается неправильное распределение чисел Циолковского по субракетам для таких ступенчатых ракет, у которых имеются три и более последовательно работающих ступени.

Так, например, нетрудно показать, что описанный выше проект американской трехступенчатой ракеты «Авангард», предназначенной для запуска 10-килограммового искусственного спутника Земли, мог бы быть существенным образом облегчен, если бы несколько перераспределить у него числа Циолковского по ступеням ракеты, сохраняя имеющиеся у степеней конструктивные характеристики и эффективные скорости и отброса топлива из двигателей.

Таблица 3

Один из возможных вариантов численных значений основных характеристик трехступенчатой американской ракеты «Авангард»

Характеристика	Символ	Размерность	Ступени и субракеты
			1-я	2-я	3-я
Начальный вес субракеты	Gn	кг	230	1870	9100
Конечный вес субракеты	Gк	"	60	444	2900
Вес топлива	ωi	"	170	1426	6200
Вес конструкции ступени	ΩI	"	50	214	1030
Конструктивная характеристика ступени ракеты	si	0	4,40	7,67	7,00
Эффективная скорость отброса топлива	uI	м/сек	2100	2400	2380
Число Циолковского	zi	0	3,83	4,21	3,14
Скорость Циолковского (по субракетам)*	(Vz)I	м/сек	2820	3450	2730
Фактическая итоговая скорость полета	Vд	"	7630	4900	1800
Суммарная потеря скорости на преодоление сопротивления среды и силы земного тяготения	ΔV	"	90	350	930

К сожалению, опубликованные в иностранной технической литературе данные этого проекта «Авангард» содержат много противоречивых сведений и являются далеко не полными. Поэтому в приведенном ниже примере могут встретиться некоторые неточности в численном значении отдельных характеристик этой ракеты, вычисленных дополнительно. Однако это не имеет принципиального значения для пояснения высказанного здесь утверждения.

Пример 4. Предположим, что основные характеристики отдельных ступеней ракеты «Авангард» имеют значения, представленные в таблице 3.

Возможно, что в этой таблице несколько уменьшены суммарные потери скорости, за счет воздействия на ракету силы сопротивления воздуха и силы земного тяготения, но при этом также не учтена и дополнительная скорость, приобретаемая ракетой за счет вращения Земли.

В данном случае при запуске спутника в юго-восточном направлении под углом 40° к плоскости экватора с полуострова Флорида эта дополнительная скорость составит величину порядка 300 м/сек. Принимая указанные в таблице 4 характеристики s_i и u_i ступеней ракеты «Авангард» за истинные, найдем соответствующие им значения (z_i), пользуясь вышеприведенным методом. Результаты промежуточных вычислений (z_i) для ракеты «Авангард» приведены в таблице 4, а конечные итоги всех вычислений, в сопоставлении со значениями z_i, заимствованными из таблицы 3, даны в таблице 5.

Таблица 5

Сравнение найденных оптимальных значений основных параметров ракеты «Авангард» с их значениями, помещенными в таблице 2

Характеристика		Ступени и субракеты
		1-я	2-я	3-я
Число zi Циолковского (по субракетам)	Оптимальное	2,47	4,67	4,23
	Фактическое	3,83	4,21	3,14
Скорость Vz	Оптимальная	1900	3670	3430
	Фактическая	2820	3450	2370
Начальный вес GI	Оптимальный	43,5	436	4000
	Фактический	230	1870	9100

Используя далее вышеприведенные в приложении формулы, не трудно определить все остальные характеристики оптимального варианта ракеты, а именно: распределение топлива по ступеням ракеты, веса конструкции каждой ступени и т. п.

Причем основным итогом все же является то, что те же самые конечные результаты могут быть достигнуты оптимальной многоступенчатой ракетой при значительно меньшем начальном ее весе. Это возможно при разумном распределении двигателей, грузов и топлива по ступеням ракеты с правильным учетом их индивидуальных характеристик.

Далее…

Сидерическим периодом обращения называется время, по истечении которого небесное тело, сделав один полный оборот, возвращается в прежнее положение относительно звезд

Скорости (V_z)_i Циолковского по субракетам в общей сложности составляют 9000 м/сек

Скорость ΔV, израсходованная на преодоление сопротивления среды и силы земного тяготения при подъеме и разгоне спутника лана в абсолютном выражении по ступеням